ЗБЧ в форм-ке Бернулли

–число успехов в n испытаниях Б. с вер-ю успеха p

Тогда

Т.к. (n,p), поэтому

, где - инд-р успеха и

Применив следствие из формулировки Чебышева ЗБЧ к последовательности , получаем утверждение настоящей теоремы.

Центральная пред-ая теорема

ЦПТ дает объяснение того факта, что нормальное распр-ие играет особую роль в мат. мод-ии случайных явлений.

В формулировке Ляпунова:

Пусть СВ удовлетворяют условиям:

  • а)независимы
  • б)одинаково распр.,
  • в)сущ-т дисперсии

Тогда , где-функция Лапласа

Из ЦПТ следует, что при возрастании n функция распр-ия СВ приближается к ф-ии распр-ия стандартного нормального законаN(0,1)

Более общие формулировки связаны с исключением пункта б) за счет усложнения пункта в)

Учитывая это, можно сказать, что ЦПТ доказывает, что нормальный закон возникает в ситуациях, когда наблюдаемое случайное явление порождено совместным действием большого числа независимо действующих случайных факторов.

Теорема Муавра-Лапласа

Пусть – число усп-ов вn исп. Б. с вер-ю успеха и неудачи. Тогда

Справедливо представление , где- индикатор,. Отсюда, применив ЦПТ, докажем требуемое.

Из этой теоремы следует, что при , приближенно справедливо

Так же отсюда следует, что с ростом числа n биномиальное распределение приближается к нормальному, несмотря на то, что первое СВДТ, а второе – СВНТ

 
Оригинал текста доступен для загрузки на странице содержания
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >